张甜甜——五重境界修炼均值原理的运用
（山西省运城市垣曲中学 张甜甜）
一代国学大师王国维在他的《人间词话》中提出了读书做学问的三重境界，并用“昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天涯路”，来比喻第一境界“立”；用“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”比喻第二境界 “守”；用“昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天涯路”比喻第三境界 “得”。在我看来，数学的学习莫不如此，拿高中数学《基本不等式》一部分来说，多数学生面临简单问题时能够套用公式解题，碰到稍微复杂或变形的问题就束手无策，都是对均值原理的理解“境界”不够造成的。那么什么是足够的“境界”？我想均值原理最早应该从小学阶段两个有趣的问题说起：
（1）用固定长度的绳子围城一个矩形，怎样会使面积最大？
（2）用绳子围成固定面积的一块矩形，怎样会使绳子最省？
对于高中生来说结论无需赘述，缺乏的是将本质规律提炼称为一般的数学原理，也就是人教A版必修五的《基本不等式》，它本身应该是揭示两个正数a,b的和与积变化的必然规律：
可从左到右依次赋予“中文名”曰：平方平均数；算数平均数；几何平均数；调和平均数，还能够类比拓展到三个乃至多个正数，演变出多种变形，这些教辅资料上比比皆是，也就不一一列举，可是真正怎么能融会贯通加以应用？个人粗浅地总结了以下“五重境界”拿来与大家分享：
第一重境界：积定求和，和定求积
例1、（1）把36写成两正数的乘积，使它们的和最小；
（2）把18写成两正数的和，使它们的乘积最大.
这是数学人教A版必修五中的练习题，很明显直接考察均值原理，当且仅当6+6=12时和最小；当且仅当9×9=81时积最大.
此种类型问题给我们的启示是：在过程中一定要尽量少次数地运用均值原理，如果要多次用到，一定要注意到每次取等号的条件是否一致，不一致时会误导我们求出“假的”最值。
综上所述，基本不等式和其变形经常应用到高中数学的各个领域，被用来很方便快捷地求参数或表达式的最值及范围，但也要意识到技巧性强，适用条件苛刻的弱点。所以必须深刻领悟“一正二定三能等，和定等时积最大，积定等时和最小”的二十一字原则，灵活而又准确地运用。“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”，正如标题所述，以上只是一位平凡中学教师，数学爱好者暂时领悟到的“境界”，仅供各位参考。
【推荐阅读】
【投稿须知】公众号《许兴华数学》诚邀全国各地中小学数学教师、教研员和数学爱好者热情投稿！来稿时请注意以下五点：（1）来稿请注明真实姓名、工作单位、联系方式（无具体工作单位和真实姓名的投稿，一般都不会采用）。
（2）来稿一般要求同时用word文档和PDF格式的电子稿件（防止不同版本的Word打开时出现乱码）。另外，也接受少数著名教师的手写稿（手写稿必须清晰可读）。
（3）每篇文章请认真审查复核，防止错误发生，来稿文责自负。如有抄袭，则有可能被举报并受到有关著作版权部门的追责。
（4）投稿邮箱：chinamatha@163.com；或加主编微信xuxinghua168投稿.
（5）本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。